Question

（2012•绍兴模拟）已知F₁，F₂是椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=

π

2

，记线段PF₁与Y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（　　）

• A．2-

  3

• B．2

  3

  -3
• C．4-2

  3

• D．

  3

  -1

Answer 1

分析：先利用PF₁与轴的交点为Q，△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，点F₁（-c，0），求得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得关于a、b、c的等式，从而求得椭圆离心率

解答：解：设Q（0，m），P（x，y）
∵△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，
∴△F₁OQ与三角形PF₁F₂的面积之比为1：3
∴

1

2

×c×m=

1

3

×

1

2

×2c×y，∴m=

2

3

y
又∵

y

x+c

=

m

c

∴x=

c

2

，
∵∠F1PF2=

π

2

，
∴

y

x+c

× 

y

x-c

= -1，即

y

3 2 c

×

y

- 1 2 c

= -1，
∴y²=

3

4

c2
将x=

c

2

和y²=

3

4

c2代入椭圆方程得：

( c 2 ) 2

a 2

+

3 4 c 2

b 2

=1
即e²+

3e2

1-e2

=4，解得e=

3

-1
故选 D

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于a、b、c的等式，是解决本题的关键