Question

【题目】将 颗珠子分成 堆.若通过每次从其中 堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

分法为和谐的充分必要条件是最多一堆珠子的颗数不超过.

下面设堆珠子的颗数分别为 ，且.

首先，用反证法证明必要性.

若分法是和谐的,则把 所对应的珠子取完至少要次，这次每次均要取走 颗珠子.如果，即，把所对应的一堆取完时,需取走的珠子颗数大于珠子的总数,而这是不可能的.因此，最多一堆珠子的颗数不能超过.

其次,用数学归纳法证明充分性.

当时，满足的分法只能是 .显然，这样的分法是和谐的.

假设时，满足的分法是和谐的.

当时，满足，且分法是不和谐的，

则分法也是不和谐的.

由归纳假设及必要性的证明知.

因为，

所以，.

若，则.

故，这是不可能的.

因此，当时，满足分法也是和谐的.