Question

【题目】设函数

（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.

（2）讨论在上的单调性；

（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案见解析.（3），证明见解析

【解析】

(1) 通过求导来判断极值点，以此求出a的值;

（2）求导后对分类讨论，分，，且三种情况，讨论函数的单调性即可；

（3）构造函数，通过导数研究的大致图象，数形结合可得的取值范围，要证明，即证，即证，做差转化为利用导数研究函数的最小值即可证明.

（1）由于函数在上递增，在上递减，

由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，

∵，

故，

此时满足是极大值点，所以；

（2）∵，

∴，

①当时，在上单调递增.

②当，即或时，，

∴在上单调递减.

③当且时，由 得.

令得；

令得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上递增；

当或时，在上递减；

当且时，在上递增，在上递减.

（3）令，

，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故在处取得最小值为，

又当，

所以函数大致图象为：

由图象知：.

不妨设，则有，

要证，只需证即可，

令，

则

在上单调递增，

故

即，

，

.