【题目】关于函数,下列判断正确的是( )
A.是
的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正实数,使得
成立
D.对任意两个正实数,
,且
,若
,则
.
【答案】BD
【解析】
A.求函数的导数,结合函数极值的定义进行判断
B.求函数的导数,结合函数的单调性,结合函数单调性和零点个数进行判断即可
C.利用参数分离法,构造函数g(x),求函数的导数,研究函数的单调性和极值进行判断即可
D.令g(t)=f(2+t)﹣f(2﹣t),求函数的导数,研究函数的单调性进行证明即可
A.函数的 的定义域为(0,+∞),
函数的导数f′(x),∴(0,2)上,f′(x)<0,函数单调递减,(2,+∞)上,f′(x)>0,函数单调递增,
∴x=2是f(x)的极小值点,即A错误;
B.y=f(x)﹣xlnx﹣x,∴y′
1
0,
函数在(0,+∞)上单调递减,且f(1)﹣1ln1﹣1=1>0,f(2)﹣2
ln2﹣2= ln2﹣1<0,∴函数y=f(x)﹣x有且只有1个零点,即B正确;
C.若f(x)>kx,可得k,令g(x)
,则g′(x)
,
令h(x)=﹣4+x﹣xlnx,则h′(x)=﹣lnx,
∴在x∈(0,1)上,函数h(x)单调递增,x∈(1,+∞)上函数h(x)单调递减,
∴h(x)h(1)<0,∴g′(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上函数单调递减,函数无最小值,
∴不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立,即C不正确;
D.令t∈(0,2),则2﹣t∈(0,2),2+t>2,
令g(t)=f(2+t)﹣f(2﹣t)ln(2+t)
ln(2﹣t)
ln
,
则g′(t)0,
∴g(t)在(0,2)上单调递减,
则g(t)<g(0)=0,
令x1=2﹣t,
由f(x1)=f(x2),得x2>2+t,
则x1+x2>2﹣t+2+t=4,
当x2≥4时,x1+x2>4显然成立,
∴对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4,故D正确
故正确的是BD,
故选:BD.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为增强学生体质,合肥一中组织体育社团,某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.
(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率;
(2)用,
分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X为
和
之差的绝对值,求随机变量X的分布列与数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
(1)试用“五点法”画出函数在区间
的简图;
(2)指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(3)若时,函数
的最小值为
,试求出函数
的最大值并指出
取何值时,函数
取得最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知点
,
,
为动点,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
与曲线
相交于不同的两点
,
.若点
在
轴上,且
,求点
的纵坐标的取值范围.
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【题目】如图,已知函数,点
、
分别是
的图象与
轴、
轴的交点,
、
分别是
的图象上横坐标为
、
的两点,
轴,且
、
、
三点共线.
(1)求函数的解析式;
(2)若,
,求
;
(3)若关于的函数
在区间
上恰好有一个零点,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将 颗珠子分成
堆.若通过每次从其中
堆中各取走一颗珠子,而最后取完,则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系的原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若与曲线
相切,且
与坐标轴交于
两点,求以
为直径的圆的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知焦点在轴上的抛物线
过点
,椭圆
的两个焦点分别为
,其中
与
的焦点重合,过
与长轴垂直的直线交椭圆
于
两点且
,曲线
是以原点为圆心以
为半径的圆.
(1)求与
及
的方程;
(2)若动直线与圆
相切,且与
交与
两点,三角形
的面积为
,求
的取值范围.
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