Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设动点的坐标为，由题可得，化简即得动点的轨迹的方程；

（2）当直线的斜率不存在时，知点的纵坐标为0；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立可得，依条件求出直线的垂直平分线，算出点的纵坐标，即可求出范围.

（1）设动点的坐标为，，依题意可知，

整理得，所以动点的轨迹的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为0；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入并整理得，

，

，

设，，则，

设的中点为，则，，

所以

由题意可知，

又直线的垂直平分线的方程为.

令解得，

当时，因为，所以，

当时，因为，所以，

综上所述，点纵坐标的取值范围是.