Question

【题目】在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.

（1）求证：AC//平面DQF；

（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；

平面平面，

平面.

（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，

．

又，平面．．

平面．

如图建立的空间直角坐标系．

在等腰梯形中，可得．

则．

那么

设平面的法向量为，

则有，即，取，得．

设与平面所成的角为，则．

所以与平面所成角的正弦值为．