Question

2．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）用定义证明f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）；
（3）若f（x）≤m（m-a）+2对所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以构造x₁＜x₂，然后推出f（x₁）＜f（x₂），即f（x₁）-f（x₂）＜0，根据已知条件及奇偶性可以完成证明；
（2）根据单调性和定义域列出关于x的不等式组，解之即可；
（3）先求出f（x）的最大值，然后两边平方去根号，分离参数a，最后解出关于a的不等式即可．

解答 （1）证明：由题意，任取-1≤x₁＜x₂≤1，则x₁-x₂＜0，
令x₁=a，-x₂=b，代入$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{-x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，
又因为f（x）为奇函数，所以f（-x₂）=-f（x₂），
代入上式得f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
故该函数在[-1，1]上为增函数．
（2）解：由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x≥2或x≤0}\\{x＜-1或1＜x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{3}{2}$≤x＜-1；
（3）解：由f（x）在[-1，1]上单调递增，
可得f（x）的最大值为f（1）=1，
由题意可得1≤m（m-a）+2对所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，
即为a≥m+$\frac{1}{m}$对所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，
由m+$\frac{1}{m}$≤-2，当且仅当m=-1∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，
可得m+$\frac{1}{m}$的最大值为-2，
即有a≥-2．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用，同时考查不等式的解法和不等式恒成立问题，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．