Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；

（2）若，，使成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

【解析】分析：的图象在处的切线方程为，得出（1，）坐标带入中，及=，即可解出，的值

（2）构造函数，在上的最大值为，问题等价于：，不等式恒成立，构造 >进行解决问题

详解：，

（1），，

由，

得.

令，，

所以函数在上单调递增，又，所以.

（2）令，因为当时，函数在上单调递增，所以，

于是函数在上一定单调递增.

所以在上的最大值为.

于是问题等价于：，不等式恒成立.

记 ，

则.

当时，因为，，所以，

则在区间上单调递减，此时，，不合题意.

故必有.

若，由可知在区间上单调递减，

在此区间上，有，与恒成立矛盾.

故，这时，在上单调递增，

恒有，满足题设要求.

所以，即.

所以的取值范围为.

点晴：本题主要考察导数综合题：能成立恒成立问题，这类型题目主要就是最值问题，学会对问题的转化是关键，本题主要在做题的过程中构造函数后发现是解决本题的关键。