Question

已知函数f（x）=x³-6x²+15，记y=f（x）的图象为曲线C．
（Ⅰ）若以曲线C上的任意一点P（x₀，y₀）为切点作切线，求切线的斜率的最小值；
（Ⅱ）以曲线C上的两个不同动点A、B为切点分别作C的切线l₁、l₂，若l₁∥l₂，若l₁∥l₂恒成立，问动直线AB是否恒过定点M？若存在，求出M的坐标，不存在说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当直线AB的斜率为-2时，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，配方，即可得到最小值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用两直线平行的结论，结合中点坐标公式，即可得到恒过定点M，及坐标；
（Ⅲ）求出点O到直线AB的距离，以及弦长AB，运用面积公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³-6x²+15的导数
f′（x）=3x²-12x=3（x-2）²-12，
当x=2时，f′（x）取最小，且为-12．
即有切线的斜率的最小值为-12；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由l₁∥l₂，得3x₁²-12x₁=3x₂²-12x₂，
化简可得，x₁+x₂=4，则x₁²+x₂²=16-2x₁x₂，
则y₁+y₂=x₁³+x₂³-6x₁²-6x₂²+30=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）-6（x₁²+x₂²）+30
=4（16-3x₁x₂）-6（16-2x₁x₂）+30=-2，
则恒过定点M，为线段AB的中点，坐标为（2，-1）；
（Ⅲ）直线AB的方程为y=-2x+3，
点O到直线AB的距离为d=

3

(-2)2+12

=

3

5

，
k_AB=

x13-x23-6(x12-x22)

x1-x2

=x₁²+x₂²+x₁x₂-6（x1+x₂）=16-x₁x₂-6×4=-2
则x₁x₂=-6，|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

16-4×(-6)

=10

2

则△AOB的面积

1

2

|AB|d=

1

2

×10

2

×

3

5

=3

10

．

点评：本题考查导数的运用；求切线的斜率，考查两直线的位置关系和中点坐标公式、点到直线的距离公式和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．