Question

二次函数y=ax²+bx+c的系数a、b、c在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则

(1)可确定多少条不同的抛物线?

(2)可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条?

(3)(理)a、b、c∈N,则可确定与x轴有公共点的抛物线有多少条?

Answer 1

解:(1)∵一元二次函数的二次项系数不为0,

∴共可组成=294条不同的抛物线.

(2)由图形特征分析:a＞0,开口向上,坐标原点在内部f(0)=c＜0;a＜0,开口向下,原点在内部f(0)=c＞0.所以对于抛物线y=ax²+bx+c来讲,原点在其内部af(0)=ac＜0,则确定抛物线时,可先定一正一负的a和c,再确定b.故满足题设的抛物线共有=144条.

(3)依题意,a、b、c只能在0、1、2、3、4中选取,一元二次方程ax²+bx+c=0有实根,

∴Δ=b²-4ac≥0.

当c=0时,Δ=b²≥0,满足条件的方程有=12个;

当c≠0时,由a≠0知b≠0,否则,

若b=0,则Δ=-4ac＜0,不合题意.

若b=4,则b²=16,由b²-4ac≥0,知a、c有4种选择:

a=1,c=2或a=2,c=1或a=1,c=3或a=3,c=1;

若b=3,则b²=9,由b²-4ac≥0,知a、c有2种选择:

a=1,c=2或a=2,c=1;

若b=2或1时,满足条件的a、c不存在.

故满足题设条件的抛物线共有12+4+2=18条.