Question

正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差数列.

(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;

(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<200的所有整数项的和.

Answer 1

 (1)证明:由已知有:=1+24(n-1),

从而an=.

取n-1=242k-1,则an=(k∈N*).

用反证法证明这些an都是无理数.

假设an=为有理数,则an必为正整数,

且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,

所以an=(k∈N*)都是无理数,

即数列{an}中有无穷多项为无理数.

(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,

所以有an-1=6m或an+1=6m.

当an=6m+1时,有=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).

又m(3m+1)必为偶数,

所以an=6m+1(m∈N)满足=1+24(n-1),

即n=+1(m∈N)时,an为整数;

同理an=6m-1(m∈N*)时,有=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N*)也满足=1+24(n-1),

即n=+1(m∈N*)时,an为整数;

显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项,

所以当n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N*)时,an为整数.

由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,

由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33.

设an中满足an<200的所有整数项的和为S,

则S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)=×34+×33=6733.