Question

2．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和有最大值，若$\frac{{{a_{25}}}}{{{a_{24}}}}$＜-1，当其前n项和S_n＞0时n的最大值是（　　）

• A． 24
• B． 25
• C． 47
• D． 48

Answer 1

分析 由$\frac{{{a_{25}}}}{{{a_{24}}}}$＜-1，可得$\frac{{a}_{25}+{a}_{24}}{{a}_{24}}$＜0，由它们的前n项和S_n有最大可得a₂₄＞0，a₂₅+a₂₄＜0，a₂₅＜0，从而有a₁+a₄₇=2a₂₄＞0，a₁+a₄₈=a₂₅+a₂₄＜0，从而可求满足条件的n的值．

解答 解：因为$\frac{{{a_{25}}}}{{{a_{24}}}}$＜-1，可得$\frac{{a}_{25}+{a}_{24}}{{a}_{24}}$＜0，由它们的前n项和S_n有最大值，可得数列的d＜0
∴a₂₄＞0，a₂₅+a₂₄＜0，a₂₅＜0
∴a₁+a₄₇=2a₂₄＞0，a₁+a₄₈=a₂₅+a₂₄＜0，
使得S_n＞0的n的最大值n=47，
故选：C．

点评 本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知及它们的前n项和S_n有最大，推出数列的正项是解决本题的关键点．