Question

12．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$+6
• B． 4$\sqrt{2}$+8
• C． 4$\sqrt{2}$+12
• D． 4$\sqrt{2}$+10

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是组合体：前面是直三棱柱、后面是三棱锥，画出直观图，并求出各个棱长以及底面的形状，判断出线面的位置关系、由勾股定理求出侧面上的高，代入面积公式分别求出三棱柱、三棱锥的表面积，即可求出答案．

解答 解：根据三视图知几何体是组合体：前面是直三棱柱、后面是三棱锥，
直观图如图所示：
直三棱柱A′B′C′-ABC：底面是等腰直角三角形：直角边为$\sqrt{2}$，
几何体的高是2，
三棱锥P-ACD：底面是等腰直角三角形：直角边为$\sqrt{2}$，
且PO⊥面ACD，PO=2、AO=OC=OD=1，
所以三棱锥P-ACD的侧棱PA=PAC=PD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在等腰△PAD中，底边AD上的高h=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则直三棱柱A′B′C′-ABC的表面积：
S₁=$2×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+2×\sqrt{2}×2+（2×2-\frac{1}{2}×2×2）$=4+$4\sqrt{2}$，
三棱锥P-ACD的表面积S₂=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+2×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=4，
所以几何体的表面积S=4+$4\sqrt{2}$+4=8+$4\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查由三视图求简单组合体的表面积，由三视图正确复原几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．