Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零点个数？（提示：[ln(1+x2)]′=

2x

1+x2

）

Answer 1

分析：（1）根据f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，则g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
（3）令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零点个数．

解答：解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)…（4分）
依题意，2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

…（10分）
令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减	极小值1	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减

所以当k＞ln2+

1

2

时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．…（16分）

点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及函数的单调性和极值等有关基础知识，同时考查了恒成立问题，属于中档题．