Question

4．（1）已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，设G，H为椭圆上两动点，OG⊥OH（O为坐标原点），求证：$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$为定值；
（2）在（1）条件下，是否存在以O为圆心的定圆，使其与GH相切，若存在，写出方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设G（ρ₁，θ），H（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），则（ρ₁cosθ）²+2（ρ₁sinθ）²=2，ρ₁²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．同理ρ₂²=$\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$，利用$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$，即可证明结论；
（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH，求出半径，即可得出结论．

解答 解：（1）设G（ρ₁，θ），H（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），则（ρ₁cosθ）²+2（ρ₁sinθ）²=2，
∴ρ₁²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
同理ρ₂²=$\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+2}{2}$=$\frac{3}{2}$；
另解：当OG，OH有一个不存在时，显然有1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
设直线OH：y=kx，代入椭圆方程，可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\frac{1}{O{H}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2（1+{k}^{2}）}$，
将k换成-$\frac{1}{k}$，可得$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{2+{k}^{2}}{2（1+{k}^{2}）}$，
则$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{3+3{k}^{2}}{2+2{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
∵OG²+OH²=GH²，∴$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{R}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴满足条件的定圆方程为：x²+y²=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，属于中档题．