已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项;
(2)若数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,记{bn}的前n项和为Tn,当n≥2时,试比较2Sn与Tn+n的大小.
分析:(1)由Sn=2an-n得,该数列的递推公式,再进行变形构造新的特殊数列,求通项公式an.
(2)由题意列出数列的递推公式,得到该数列{bn}为等差数列,再求出Tn,比较大小时用二项式定理,并用分析法进行证明.
解答:解:∵S
n=2a
n-n ①
当n≥2时,S
n-1=2a
n-1-(n-1) ②
②-①得a
n=2a
n-1+1,∴a
n+1=2(a
n-1+1)
又∵a
1=2a
1-1,∴a
1=1
∴数列{a
n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴a
n+1=2
n∴a
n=2
n-1
由于a
1=1也适合上式,∴a
n=2
n-1(n∈N
+)
(2)∵点P(b
n,b
n+1)在直线x-y+2=0上,
∴b
n+1-b
n=2,b
1=1,则 b
n=2n-1,
∴T
n=
=n
2,
∴T
n+n=n
2+n
∵S
n=2a
n-n,a
n=2
n-1
∴2S
n=2
n+2-2n-4,
当n=2时,2S
n=8,T
n+n=6,2S
n>T
n+n,
下面用分析法证当n>2时,2S
n>T
n+n
要证明 2
n+2-2n-4>n
2+n,
即证 2
n+2>n
2+3n+4,
即证 (1+1)
n+2>n
2+3n+4,
∵(1+1)
n+2=c
n+20+c
n+21+c
n+22+…+c
n+2n+c
n+2n+1+c
n+2n+2∵n>2,c
nk=c
nn-k∴(1+1)
n+2≥2(C
n+20+C
n+21+C
n+22)=n
2+5n+8,当n=3时取等号,
综上可得:当n≥2时,2S
n>T
n+n
点评:本题涉及到前n项和公式与通项公式的关系、递推公式,分别求数列的通项公式和前n项和,并用待定系数法;在比较大小时用到二项式定理,还有分析法证明,考查知识面广,有一定难度.