Question

10．如图，已知A（x₁，y₁）为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点，P（p，0）为定点．
（1）过AP的中点M作x轴的平行线分别交抛物线及其准线于Q，N，试用x₁表示点Q的横坐标x_Q；
（2）求证：Q为MN的中点；
（3）以MN为直径的圆是否恒过一个定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过中点坐标公式可知M（$\frac{{x}_{1}+p}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），利用M、Q的纵坐标相同计算即得结论；
（2）只需证明$\frac{{x}_{N}+{x}_{M}}{2}$=x_Q即可，计算即得结论；
（3）通过抛物线的定义可知|QF|=|QN|，结合Q为MN的中点即得结论．

解答 （1）解：∵A（x₁，y₁）、P（p，0），
∴M（$\frac{{x}_{1}+p}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
∵M、Q的纵坐标相同，
∴Q的横坐标满足：$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=2px_Q，
又∵${{y}_{1}}^{2}$=2px₁，
∴x_Q=$\frac{{x}_{1}}{4}$；
（2）证明：∵N的横坐标x_N=-$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{{x}_{N}+{x}_{M}}{2}$=$\frac{-\frac{p}{2}+\frac{{x}_{1}+p}{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}}{4}$=x_Q，
∴Q为MN的中点；
（3）结论：以MN为直径的圆恒过焦点F（$\frac{p}{2}$，0）．
理由如下：
由抛物线的定义可知：|QF|=|QN|，
又∵Q为MN的中点，
∴|QF|=$\frac{1}{2}$|MN|，
∴以MN为直径的圆恒过焦点F（$\frac{p}{2}$，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．