Question

15．已知直线l：y=k（x+2$\sqrt{2}$）（k≠0）与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S．
（1）当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求S的值；
（2）求S的最大值，并求出此时的k值．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AB于D，当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，求出|AB|，|OD|，即可求出S的值；
（2）设∠AOB=θ（0θ＜180°），则S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinθ=2sinθ，即可求S的最大值，从而求出此时的k值．

解答 解：（1）作OD⊥AB于D，当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，则|OD|=$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，…（2分）
|AB|=2$\sqrt{4-\frac{8}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…（4分）
∴S=$\frac{1}{2}$|AB||OD|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；…（6分）
（2）设∠AOB=θ（0θ＜180°）
则S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinθ=2sinθ，…（8分）
∴当θ=90°时，S（θ）_max=2，此时|OD|=$\sqrt{2}$，…（10分）
即$\frac{2\sqrt{2}|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查计算能力．