Question

7．已知$sin（α+\frac{π}{3}）+sinα$=-$\frac{{4\sqrt{3}}}{5}，-\frac{π}{2}$＜α＜0，则cosα=（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$
• C． $\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}$
• D． $-\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$

Answer 1

分析 由已知式子化简可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，进而由同角三角函数基本关系可得cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，代入cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{6}$）计算可得．

解答 解：∵$sin（α+\frac{π}{3}）+sinα$=-$\frac{{4\sqrt{3}}}{5}，-\frac{π}{2}$＜α＜0，
∴$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+sinα=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∴$\frac{3}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}×（-\frac{4}{5}）$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$
故选：B

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．