Question

17．设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，且∠EOF=90°，（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值．
（Ⅲ）设A，B分别是曲线C的与X轴正半轴和Y轴正半轴的两个交点，直线y=mx（m＞0）与曲线C交于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线、两点间的距离公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过设直线l的方程：y=kx+2并与椭圆方程联立，利用∠EOF=90°即$\overrightarrow{OE}$$•\overrightarrow{OF}$=0、结合韦达定理及向量数量积的坐标运算，计算即得结论；
（Ⅲ）通过联立直线与椭圆方程可知P（$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$）、Q（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，-m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），利用S_{四边形APBQ}=2S_△BOP+2S_△QOA及基本不等式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，
∴$\frac{|x-4|}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=2，
化简得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
又∵直线l与曲线C交于不同两点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则△=（16k）²-4•4•（3+4k²）＞0，解得：k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∵∠EOF=90°，
∴$\overrightarrow{OE}$$•\overrightarrow{OF}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴（1+k²）•$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$-2k•$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$+4=0，
解得：k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
显然k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
∴k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx（m＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
解方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\\{{y}_{1}=m•\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\\{{y}_{2}=-m•\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\end{array}\right.$，
即P（$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），Q（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，-m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），
∴S_{四边形APBQ}=2S_△BOP+2S_△QOA
=$2•\frac{1}{2}•$|BO|•x_P+$2•\frac{1}{2}•$|OA|•y_P
=$\sqrt{3}$•x_P+2•y_P
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$+2•m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$
=（$\sqrt{3}$+2m）•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$
=2•$\sqrt{\frac{3（\sqrt{3}+2m）^{2}}{3+4{m}^{2}}}$
=2•$\sqrt{3（1+\frac{4\sqrt{3}m}{3+4{m}^{2}}）}$
=$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4m+\frac{3}{m}}}$，
∵4m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{4m•\frac{3}{m}}$=4$\sqrt{3}$，当且仅当4m=$\frac{3}{m}$即m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时等号成立，
∴$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4m+\frac{3}{m}}}$≤$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}}$=2$\sqrt{6}$，
∴当m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，S_{四边形APBQ}的最大面积为$2\sqrt{6}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．