Question

5．若函数f（x）=x-sinx对任意的θ∈（0，π），f（cos2θ）+f（2msinθ-5）≤0恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，3]
• C． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 先求出函数f（x）是奇函数，增函数，问题转化为sin²θ-msinθ+2≥0恒成立，通过讨论对称轴的位置，从而求出m的范围．

解答 解：∵f（-x）=-x-sin（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
而f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）在定义域上是增函数，
∴f（cos2θ）+f（2msinθ-5）≤0恒成立
?f（cos2θ）≤-f（2msinθ-5）恒成立
?f（cos2θ）≤f（5-2msinθ）恒成立
?cos2θ≤5-2msinθ恒成立
?1-2sin²θ≤5-2msinθ恒成立
?sin²θ-msinθ+2≥0恒成立，
∵θ∈（0，π），∴sinθ∈（0，1]，
令t=sinθ，t∈（0，1]，
令h（t）=t²-mt+2，
则问题转化为：h（t）_min≥0在（0，1]恒成立，
①对称轴t=$\frac{m}{2}$≤0时，h（t）_min=h（0）=2＞0，成立，
∴m≤0；
②0＜$\frac{m}{2}$＜1时，h（t）_min=h（$\frac{m}{2}$）=$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2≥0，解得：-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
∴0＜m＜2；
③$\frac{m}{2}$≥1时，h（t）_min=h（1）=3-m≥0，解得：m≤3，
∴2≤m≤3，
综上：m≤3；
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数在区间上恒成立问题，考查二次函数的性质，三角函数的性质，换元思想，是一道中档题．