Question

10．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）①证明f（x）在R上是增函数；
②若m³-3m²+5m=5，n³-3n²+5n=1，求m+n的值．
（Ⅲ）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性性和条件，建立方程即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）①由（1）中函数f（x）的解析式，利用导数法易证得在R上为增函数；
②由已知可得：f（m-1）=2，f（n-1）=-2，结合（Ⅰ）和①中结论，可得m-1与n-1互为相反数；
（Ⅲ）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化然后利用二次函数的性质解决恒成立问题

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=3，f（2）=12．
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ 8a+2c=12\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴a，b，c的值分别为1，0，2；
（Ⅱ）证明：①由（Ⅰ）得f（x）=x³+2x，
则f′（x）=3x²+2，
由f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在R上为增函数；
②∵m³-3m²+5m=5，n³-3n²+5n=1，∴（m-1）³+2（m-1）=2，（n-1）³+2（n-1）=-2，
即f（m-1）=2，f（n-1）=-2，∴f（m-1）+f（n-1）=0?f（m-1）=f（1-n）
∴m-1=1-n，即m+n=2．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得到函数为奇函数且为增函数，
∵关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k），
∴f（x²-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
∴x²-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
设g（x）=x²+kx+2k-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（0）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2k-4≤0\\ 3k-3≤0\end{array}\right.$，
∴k≤1，
∴k的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题重点考查函数的基本性质，函数的图象与性质，属于中档题，难度中等．