Question

20．为分析某一位同学在高一学年里的学习状态，现对他在高一六次测试的数学成绩年级排名x和物理成绩年级排名y进行了统计，如表：

数学成绩排名x	8	20	16	24	30	22
物理成绩排名y	13	18	22	22	24	21

（1）试分析该同学数学和物理成绩那科更加稳定？并证明你的结论？
（2）若该学生的物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，并通过最小二乘法原理计算得到回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+$\stackrel{∧}{a}$，现知他在期末考试中他的数学成绩年级排名第40名，试估计他的物理成绩年级排名．

Answer 1

分析 （1）利用平均数、方差的计算公式及其意义即可得出；
（2）由题意求出x，y的平均数，代入线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，求出$\widehat{a}$值，从而求出回归方程，再将x=40代入，即可估计他的物理成绩年级排名．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（8+20+16+24+30+22）=20，$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（13+18+22+22+24+21）=20，
S²_X=$\frac{1}{6}$[（8-20）²+（20-20）²+（16-20）²+（24-20）²+（30-20）²+（22-20）²]=$\frac{140}{3}$．
S²_Y=$\frac{1}{6}$[（13-20）²+（18-20）²+（22-20）²+（22-20）²+（24-20）²+（21-20）²]=13
∵S²_X＞S²_Y，
该同学的物理成绩更加稳定．
（2）由（1）知这组数据的样本中心点是（20，20），
又∵回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+$\stackrel{∧}{a}$，
∴20=0.45×20+$\hat{a}$，
∴$\hat{a}$=11，
所以线性回归方程是：$\widehat{y}$=0.45x+11，
当x=40时，0.45×40+11=29，
所以估计他的物理成绩年级排名为29．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，考查了平均数和方法的实际意义，属于基础题．