Question

11．已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$；
①若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
②若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 ①把曲线C的极坐标方程化为化为普通方程是椭圆的标准方程；
②把曲线C的普通方程化为参数方程，求出曲线C上的点P（x，y）对应的3x+4y的最大值．

解答 解：①曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$，
即4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，
化为普通方程是4x²+9y²=36，
即$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
②把曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1化为参数方程是
$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数，
则曲线C上的点P（x，y）满足：
3x+4y=9cosθ+8sinθ
=$\sqrt{145}$sin（θ+α），其中tanα=$\frac{9}{8}$，
∴3x+4y的最大值为$\sqrt{145}$．

点评 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了椭圆的标准方程的应用问题，是基础题目．