Question

19．一台使用的时间较长的机器，按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y件）	11	9	8	5

（1）如果y对x线性相关，且回归直线方程y=0.7286x-a，依据表中数据求a的值；
（2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（精确到0.0001）
参考公式：$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入线性回归方程，求出a的值；
（2）将y=10代入线性回归方程，进而构造关于x的不等式，解得机器的运转速度应控制在什么范围内．

解答 解：∵从所给的数据可以得到$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（16+14+12+8）=12.5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（11+9+8+5）=8.25，
∴这组数据的样本中心点是（12.5，8.25）
∴8.25=0.7286×12.5-a，
∴a=0.8575，
（2）由（1）得回归直线方程y=0.7286x-0.8575，
若每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，
则y≤10，
即0.7286x-0.8575≤10，
解得x≤14.9018
所以机器的运转速度应控制14.9018转/秒内

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．