Question

7．设函数f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）令函数h（x）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$）．
①判断函数h（x）的零点个数，并说明理由；
②求证：ln$\frac{1}{n}$＞$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）（n＞1，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得1-k=0，即可得到k=1；
（2）①函数h（x）有且只有一个零点．求得函数h（x）的导数，求得单调区间，即h（x）在（0，+∞）递减，又h（1）=0，即可得到；
②由①知，当x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即有lnx＞$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），分别令x=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，…，$\frac{n-1}{n}$，得到不等式，累加，结合对数的性质，化简整理即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
可得f′（1）=0，即1-k=0，
解得k=1；
（2）①函数h（x）有且只有一个零点．
理由如下：由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-（ln$\frac{1}{x}$+x）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，
h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
h（x）在（0，+∞）递减，又h（1）=0，
即有h（x）在（0，+∞）有且只有一个零点；
②证明：由①知，当x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即2lnx+$\frac{1}{x}$-x＞0，
则lnx＞$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），
令x=$\frac{1}{2}$，则ln$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-2），
x=$\frac{2}{3}$，则ln$\frac{2}{3}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$），
x=$\frac{3}{4}$，则ln$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$），
…
x=$\frac{n-1}{n}$，则ln$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$），
累加可得，ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{2}{3}$+…+ln$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-2+$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$）
即ln$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$…$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$[-2+（$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$）+（$\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$）+…+（$\frac{n-2}{n}$-$\frac{n}{n-1}$）+$\frac{n-1}{n}$]
=$\frac{n-1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$）
=$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$），
即ln$\frac{1}{n}$＞$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）（n＞1，n∈N^*）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查函数的零点的求法和不等式的证明，注意运用累加法，考查运算和推理能力，属于中档题．