Question

【题目】已知函数 （a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数． （Ⅰ） 求实数a的值；
（Ⅱ） 证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）：∵f（x）是定义在R上的奇函数． ∴ ，
∴a=2．
∴ ，
∴ ，
∴f（x）是定义在R上的奇函数．
∴a=2．
（Ⅱ）任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ，
则 ，
∵x1＜x2 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上为增函数
（Ⅲ）由题意得，当x≥1时，
即 恒成立，
∵x≥1，
∴2x≥2，
∴ 恒成立，
设t=2x﹣1（t≥1），
则
设 ，
则函数g（t）在t∈[1，+∞）上是增函数．
∴g（t）min=g（1）=0，
∴m≤0，
∴实数m的取值范围为m≤0
【解析】（Ⅰ）利用奇函数的定义即可求出，f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明，假设，作差，比较，判断，下结论．（Ⅲ）分离参数m后得到 ，设t=2x﹣1（t≥1），构造函数 ，转化为求函数最值问题解决．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．