Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，且a，b，c成等比数列，则函数y=sinB+cosB的取值范围是（　　）

• A、[-

  2

  ，

  2

  ]
• B、（1，

  2

  ]
• C、[1，

  2

  ]
• D、（0，

  2

  ）

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：根据a，b，c成等比数列，利用等比数列性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入，并利用基本不等式求出cosB的范围，进而求出B的范围，函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴B∈（0，

π

3

]，即B+

π

4

∈（

π

4

，

7π

12

]，
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1，
函数y=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）∈（1，

2

]，
故选：B．

点评：此题考查了余弦定理，等比数列的性质，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．