Question

（1）已知幂函数f（x）过点（2，8），求f（x）的解析式；
（2）已知f(

x+3

2

)=x2-2x，求f（x）的解析式；
（3）已知2f（x）+f（-x）=3x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法，设出函数的解析式，再将点（2，8）代入，求出参数的值，得到本题结论；
（2）利用换元法求函数f（x）的解析式，得到本题结论；
（3）将条件中的“x”用“-x”代入，得到关于f（x）、f（-x）的方程组，解方程组，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是幂函数，
∴记f（x）=x^α，
∵幂函数f（x）过点（2，8），
∴2^α=8，
∴α=3．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=x³．
（2）∵f(

x+3

2

)=x2-2x，
∴设

x+3

2

=t，
x=2t-3，
f（t）=（2t-3）²-2（2t-3）
=4t²-16t+3．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=4x²-16x+15．
（3）∵2f（x）+f（-x）=3x+1，①
∴将“x”用“-x”代入，得到：
2f（-x）+f（x）=-3x+1，②
∴由①×2-②得：
3f（x）=9x+1，
∴f（x）=3x+

1

3

．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=3x+

1

3

．

点评：本题考查了待定系数法、换元法、方程组法求函数的解析式，本题有一定的综合性，属于中档题．