Question

已知A，B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点D(1，

3

2

)在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜率之积为-

b2

4

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，已知P，Q是椭圆C上不同于顶点的两点，直线AP与QB交于点M，直线PB与AQ交于点N．若弦PQ过椭圆的右焦点F₂，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1

a2

+

9 4

b2

=1，

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=

9 4

1-a2

=-

b2

4

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设PQ：x=ty+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此能求出直线MN的方程．

解答： 解：（1）∵点D(1，

3

2

)在椭圆C上，
∴

1

a2

+

9 4

b2

=1，
又直线DA与直线DB的斜率之积为-

b2

4

，
∴

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=

9 4

1-a2

=-

b2

4

，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设PQ：x=ty+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y1+y2=

-6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

，
∴直线AP的直线方程为x=

x1+2

y1

y-2，
BQ的直线方程为x=

x2-2

y2

y+2，
联立，解得x_M=4，同理，x_N=4，
∴直线MN的方程为x=4．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．