Question

直线0过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=2，|AB|=4．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求抛物线上的点P到直线m：x-y+3=0的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线定义得，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，从而求p；
（2）设与直线m平行且与抛物线相切的直线n：x-y+t=0，从而求出t，抛物线上的点P到直线m：x-y+3=0的最小距离化为m与n的距离．

解答： 解：（1）由抛物线定义得，
|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
又∵x₁+x₂=2，
∴p=2．
∴抛物线标准方程y²=4x．
（2）由题得，直线m与抛物线没有公共点，
设与直线m平行且与抛物线相切的直线n：x-y+t=0，
联立

x-y+t=0 y2=4x

，
消去x整理得，y²-4y+4t=0．
∴△=16-16t=0，
解得，t=1，
故切线n：x-y+1=0．
∴d_min=

|3-1|

2

=

2

，
即抛物线上的点P到直线m：x-y+3=0的最小距离为

2

．

点评：本题考查了抛物线的定义及最值问题，属于中档题．