Question

在平面直角坐标xO中，动点P到两点(0，

3

)，(0，-

3

)的距离之和为4，设动点的轨迹C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得曲线C是焦点在y轴上的椭圆，设其方程为

x2

b2

+

x2

a2

=1，由题意知2a=4，c=

3

，由此能求出曲线C的方程．
（2）联立

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，得（4+k²）x²+2kx-3=0，由此利用韦达定理能推导出k=±

1

2

时，

OA

⊥

OB

．

解答： 解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标xO中，动点P到两点(0，

3

)，(0，-

3

)的距离之和为4，
∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，设其方程为

x2

b2

+

x2

a2

=1，
由题意知2a=4，c=

3

，则b=1，
∴曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）联立

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，化简，得（4+k²）x²+2kx-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 2k 4+k2 x1x2=- 3 4+k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-

3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1
=-

5k2

4+k2

+1，
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

3

4+k2

-

5k2

4+k2

+1=0，
解得k=±

1

2

．
∴k=±

1

2

时，

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查圆锥曲线的方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．