Question

已知抛物线y²=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（　　）

• A、1
• B、3
• C、6
• D、12

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，设直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y²=4x，再结合弦长公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|表示出|AB|，把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数k，b的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，
令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0，
故有x₁+x₂=

2(2-kb)

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
故有4=

2(2-kb)

k2

，解得b=

2-2k2

k

，即x₁x₂=

4-8k2+4k4

k4

，
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

16-4× 4-8k2+4k4 k4

，
=4

1+k2

2k2-1 k4

=4

2+[(- 1 k2 - 1 2 )2+ 1 4 ]

≤4×

9 4

=6．
故|AB|的最大值为6，
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是用弦垂公式表示出弦长，再结合题设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数，利用求最值的方法求出最值．本题比较抽象，难点在二把弦长用参数表示出来之间，需要做大量的运算，做题时要有耐心，平时要注意提高符号运算能力．