Question

过点P（0，2）的直线和抛物线y²=8x交于A，B两点，若线段AB的中点在直线x=2上，求弦AB的长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦AB的中点C（2，m），交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线BA的方程为y=

m-2

2

x+2．与抛物线方程联立化为（m-2）y²-16y+32=0，m≠2．利用中点坐标公式可得y1+y2=

16

m-2

=2m，化为m²-2m-8=0，解得m．再利用|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

即可得出．

解答： 解：设弦AB的中点C（2，m），交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线BA的方程为y=

m-2

2

x+2．
联立

y= m-2 2 x+2 y2=8x

，化为（m-2）y²-16y+32=0，（*）
m≠2．
∴y1+y2=

16

m-2

=2m，化为m²-2m-8=0，
解得m=4或-2．
当m=4时，中点C（2，4）在抛物线上，舍去．
∴m=-2．
（*）化为y²+4y-8=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-8．
∴|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2[(-4)2-4×(-8)]

=4

6

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．