Question

设函数f（x）=x²+2ax+3．
（1）关于x的不等式f（x）≥3a-1对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜1；
（3）函数f（x）在区间[-1，

2

]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）x²+2ax+3≥3a-1对一切x∈R恒成立，即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，所以（2a）²-4（4-3a）≤0，解得即可；
（2）对判别式讨论大于0，等于0，小于0，再由二次不等式的解法，即可得到；
（3）要使函数在[-1，

2

]有零点，只需考虑a的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符号以及零点存在定理和运用，列出不等式组，解出即可得到范围．

解答： 解：（1）由题意得，x²+2ax+3≥3a-1对一切x∈R恒成立，
即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，
所以（2a）²-4（4-3a）≤0，即a²+3a-4≤0，
解得，-4≤a≤1，
所以实数a的取值范围-4≤a≤1；
（2）由f（x）＜1，得，x²+2ax+3＜1，
即x²+2ax+2＜0，
其中△=4a²-8，
当△=4a²-8≤0即-

2

≤a≤

2

时，不等式无实数解；
当△=4a²-8＞0，即a＞

2

或a＜-

2

时，
设x1=

-2a- 4(a2-2)

2

=-a-

a2-2

，x₂=-a+

a2-2

则x₁＜x＜x₂，
综上所述，当-

2

≤a≤

2

时，不等式无解；
当a＜-

2

或a＞

2

时，不等式的解集为(-a-

a2-2

，-a+

a2-2

 )；
（3）要使函数f(x)=x2+2ax+3在区间上[-1，

2

]上有零点，须

△≥0 -1≤-a≤ 2 f( 2 )≥0 f(-1)≥0

或f(

2

)•f(-1)≤0，或△=4a²-12=0，即

△=4a2-12≥0 -1≤-a≤ 2 f(-1)=1-2a+3≥0 f( 2 )=2+2 2 a+3≥0

或(4-2a)(5+2

2

a)≤0，或a=±

3

，（不合题意）
解得，a≤-

5 2

4

或a≥2，
综上所述，实数a的取值范围（-∞，-

5 2

4

]∪[2，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．