Question

设椭圆方程为

x2

4

+

y2

8

=1，过原点且倾斜角为θ和π-θ（0＜θ＜

π

2

）的两直线分别交椭圆于A，C和B，D两点．
（1）用θ表示四边形ABCD的面积S；
（2）当θ∈（0，

π

2

）时，求S的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设出直线过原点且倾斜角为θ的直线的方程和椭圆方程联立即可表示出四边形ABCD的面积；
（2）根据（1）求得的面积S的函数求其最大值即可．

解答： 解：设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为y=xtanθ，代入

x2

4

+

y2

8

=1，
求得x2=

32

8+4tan2θ

，y2=

32tan2θ

8+4tan2θ

，
由对称性可知四边形ABCD为矩形，又由于0＜θ＜

π

2

，
所以四边形ABCD的面积S=4|x||y|=

32tanθ

2+tan2θ

；
（2）当0＜θ＜

π

2

时，tanθ＞0，
设t=tanθ，则S=

32t

2+t2

=

32

2 t +t

，（t＞0），
设f（t）=

2

t

+t，
f′（t）=1-

2

t2

，
当0＜t＜

2

时，f′（t）＜0；
当t＞

2

时，f′（t）＞0，
因为f（t）在t=

2

时，取最小值，
所以f（t）_min=f（

2

）=

2

2

+

2

=2

2

，
所以当tanθ=

2

时，S_max=8

2

．

点评：本题主要考查直线和椭圆的相关知识，三角函数的最值问题．