Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．
（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）当PA=2时，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．（请用向量的运算解决此问题）

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．
（2）以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出，直线AD与平面ABE所成角的余弦值，最后转化成正弦值．

解答： （1）证明：连接AC，
由于：AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
利用余弦定理求得：AC=1
所以：△ABC是直角三角形
则：AB⊥AC
又在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，
所以：AC⊥CD
CD⊥平面PAC
AE⊥CD
又点E在PC上，AE⊥PC
所以：AE⊥平面PCD
解：（2）以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，PA=2
所以：A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，

1

2

，1），D（-1，1，0），P（0，0，2）

AD

=(-1，1，0)，

AB

=(1，0，0)，

AE

=(0，

1

2

，1)
设平面ABE的法向量为：

n

=(x，y，z)
则：

n

•

AD

=0，

n

•

AB

=0
求得：

n

=(0，-2，1)
设直线AD与平面ABE所成角为θ，
cosθ=

n • AD

| n |•| AD |

=

30

6

所以：sinθ=

6

6

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理，线面的夹角及相关的运算，空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，属于中档题型．