Question

设有一组圆C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴，下列五个命题：
①圆心在定直线上运动；
②存在一条定直线与所有的圆均相切；
③存在一条定直线与所有的圆均相交；
④存在一条定直线与所有的圆均不相交；
⑤所有的圆均不过原点；
其中正确的有

 

（填上所有正确的序号）

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点．

解答： 解：根据题意得：圆心（k-1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项①，③正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k-1，3k），半径为

2

k2，
圆k+1：圆心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），
半径为

2

（k+1）²，
两圆的圆心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

=

10

，
两圆的半径之差R-r=（k+1）²-

2

k²=2

2

k+

2

，
任取k=1或2时，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，选项②错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项④错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N^*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项⑤正确．
则真命题的代号是③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查命题真假的判断，是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．