Question

已知函数f（x）=

-2x2-4x-1，x≤0 log2(x+ 1 2 )，x＞0

．
（1）当x＞0时，解不等式f（x）≥1；
（2）说明函数f（x）的单调区间（不必证明单调性）；
（3）若函数g（x）=f（x）-m有三个零点x₁，x₂，x₃，分别求m，x₁+x₂+x₃的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）当x＞0时，不等式f（x）≥1可化为log2(x+

1

2

)≥1，从而求解；
（2）由二次函数及对数函数可知，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，+∞），单调减区间为[-1，0]；
（3）作出函数f（x）的图象，由图象求m，x₁+x₂+x₃的取值范围．

解答： 解：（1）当x＞0时，不等式f（x）≥1可化为
log2(x+

1

2

)≥1，
即x+

1

2

≥2，
解得x≥

3

2

；
（2）由二次函数及对数函数可知，
函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，+∞），
单调减区间为[-1，0]；
（3）函数f（x）的图象如下，

由图象可知，-1＜m＜1，
x₁+x₂=-2，0＜x₃＜2，
∴x₁+x₂+x₃的取值范围为（-2，0）．

点评：本题考查了分段函数的图象作法及函数性质，属于难题．