Question

已知函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，下列命题：
①函数f（x）的零点为1；           
②函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数f（x）在其定义域内是减函数；  
④函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
其中所有正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：已知函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①由于e^x＞0，e^-x＞0，可得函数f（x）的无零点；
②由于函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，即可得出图象的对称性；
③函数f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，当x＞0时，利用函数y=e^2x单调递增，可得e^2x＞1，函数f（x）在x＞0时单调递减；同理函数f（x）在x＜0时单调性质．但是在其定义域内不是单调函数；
④变形函数f（x）=1+

2

e2x-1

，当x＞0时，利用函数f（x）在x＞0时单调递减，可得f（x）＞1；利用奇函数的性质可得：当x＜0时，可得f（x）＜-1．即可得出函数f（x）的值域．

解答： 解：已知函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①∵e^x＞0，e^-x＞0，∴函数f（x）的无零点，不正确；
②∵函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），∴函数f（x）是奇函数，因此其函数f（x）的图象关于原点对称，正确；
③函数f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，当x＞0时，函数y=e^2x单调递增，且e^2x＞1，∴函数f（x）在x＞0时单调递减；同理函数f（x）在x＜0时单调递减，但是函数f（x）在其定义域内不是单调函数；
④函数f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，当x＞0时，函数f（x）在x＞0时单调递减，可得f（x）＞1；同理利用奇函数的性质可得：当x＜0时，可得f（x）＜-1．因此函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
综上可得：正确的命题为②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的单调性奇偶性值域及其零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．