Question

记公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接利用等差数列以及等比数列的关系列出方程组，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）化简b_n=2ⁿ•a_n，然后利用错位相减法直接求解T_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答： 解：（I）由a₃，a₅，a₈成等比数列得a₅²=a₃a₈，又S₃=9，（1分）
由此得

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，解得，a₁=2，d=1（5分）
∴a_n=n+1，S_n=

n(2+n+1)

2

=

1

2

n²+

3

2

n（7分）
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（9分）
两式相减得，
-T_n=2•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹（11分）
=-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）

点评：本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．