Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（0，5），B（-8，-3），C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接把点A，B的坐标代入椭圆方程求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后求出D的坐标，分别求出A，B到直线CD的距离，把四边形面积转化为两个三角形的面积和，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）将点A（0，5），B（-8，-3）代入椭圆G 的方程解得：

25 b2 =1 (-8)2 a2 + (-3)2 b2 =1

，解得：a²=100，b²=25．
∴椭圆G的方程为：

x2

100

+

y2

25

=1； 
（2）连结OB，
则S四边形ABCD=S△OAB+S△AOD+S△BOC=

1

2

|xB|×AO+

1

2

dA×OD+

1

2

dB×OC，
其中d_A，d_B分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．
设直线CD方程为y =kx，代入椭圆方程

x2

100

+

y2

25

=1，得x²+4k²x²-100=0，
解得：D(

10

1+4k2

 ， 

10k

1+4k2

)，
∴OC=OD=

10 1+k2

1+4k2

，
又dA=

5

1+k2

，dB=

8k-3

1+k2

 (k＞

3

8

)，
则S四边形ABCD=

1

2

×8×5+

1

2

×

5

1+k2

×

10 1+k2

1+4k2

+

1

2

×

8k-3

1+k2

×

10 1+k2

1+4k2

 
=20+10×

16k2+8k+1 1+4k2

≤20+10

16k2+4(k2+1)+1 1+4k2

=20+10

5

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系解题，训练了利用基本不等式求最值，是压轴题．