Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）的表达式是指数函数，且f（2）=

1

4

．
（1）当x＞0时，求f（x）的表达式；
（2）当x≤0时，求f（x）的表达式；
（3）画y=f（x），x∈[-4，0]的图象，并指出函数的值域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求解即可得到y=a^x，a²=

1

4

，a=

1

2

，（2）当x=0时，f（0）=0，当x＜0时，-x＞0，转化为当x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x求解．（3）画出图象，利用图象求解．

解答： 解：（1）∵当x＞0时，f（x）的表达式是指数函数，且f（2）=

1

4

．
∴y=a^x，a²=

1

4

，a=

1

2

，
当x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x；
（2）∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（-x）=-f（x），
当x=0时，f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（

1

2

）^-x=-2^x
∴当x≤0时，f（x）=

0，x=0 -2x，x＜0

（3）y=f（x），x∈[-4，0]的图象
值域为：（-1，-

1

16

]∪{0}

点评：本题考查了函数的概念，性质，属于中档题，有点难度．