Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（　　）

• A、m≥1+

  1

  2

  e2
• B、m≥

  1

  2

• C、m≥1
• D、m≥1+e

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：易知

1

2

x²，lnx在[1，e]上都是增函数，从而可得f（x）=

1

2

x²+lnx在[1，e]上是增函数，从而求出函数f（x）的取值范围，从而由题意求实数m的取值范围．

解答： 解：∵

1

2

x²，lnx在[1，e]上都是增函数，
∴f（x）=

1

2

x²+lnx在[1，e]上是增函数，
∴

1

2

≤f（x）≤

e2

2

+1，
则?x₀∈[1，e]，使不等式f（x）≤m可化为

1

2

≤m，
即m≥

1

2

．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了存在性问题的处理方法，属于中档题．