Question

数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），则其前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到2a_n+1=S_n，取n=n-1后得另一递推式，作差后可得数列{a_n}从第二项起构成以

3

2

为公比的等比数列，然后由等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：由a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），得
2a_n+1=S_n，
当n≥2时，有2a_n=S_n-1，
作差得：2a_n+1=3a_n（n≥2），
即

an+1

an

=

3

2

(n≥2)．
又a₁=2，且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），
∴a2=

1

2

a1=

1

2

×2=1，

a2

a1

=

1

2

．
∴数列{a_n}从第二项起构成以

3

2

为公比的等比数列，
则Sn=2+

1×[1-( 3 2 )n-1]

1- 3 2

=2•(

3

2

)n-1．
故答案为：2•(

3

2

)n-1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列的前n项和，是中档题．