Question

（2007•咸安区模拟）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，且当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于

f(x)

g(x)

＞0的解集．由当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以证明

f(x)

g(x)

的单调性，从而使问题得解．

解答：解：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于

f(x)

g(x)

＞0的解集．
下面我们重点研究

f(x)

g(x)

的函数特性．因为当x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以当x＞0，(

f(x)

g(x)

)/＜0．也就是

f(x)

g(x)

，当x＞0时，是递减的．
由f（1）=0得

f(1)

g(1)

=0．所以有递减性质，（0，1）有

f(x)

g(x)

＞0．
由f（x）是奇函数，f（-1）=0，x＜-1时，

f(x)

g(x)

=-

f(-x)

g(x)

＞0 不等f（x）＞0式的解集是（-∞，-1）∪（0，1），
故选C．

点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．