Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分別与圆O：交于点A，B，与圆M：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1交于点C，D．

（1）若AB＝，求CD的长；

（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.

解：（1）因为AB＝，圆O半径为2

所以点O到直线AB的距离为

显然AB、CD都不平行于坐标轴

可设AB：，即

则点O到直线AB的距离，解得

因为AB⊥CD，所以

所以CD：，即

点M（2,1）到直线CD的距离

所以

（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4

当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍

当AB与CD都不平行于坐标轴时

由（1）知

因为，所以

因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，

所以

所以△ABE的面积

记，则

则

综上所述：