Question

已知0＜α＜β＜γ≤2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（β-α）的值，并求β-α．

Answer 1

分析：由cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0可得，-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ
两边同时平方相加可得，sin²γ+cos²γ=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²，整理可求cos(β-α)=-

1

2

结合0＜α＜β≤2π可求β-α

解答：解：∵cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0
∴-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ
两边同时平方相加可得，sin²γ+cos²γ=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²
∴1=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ
∴2cos（α-β）=-1，cos(β-α)=-

1

2

∵0＜α＜β≤2π∴0＜β-α＜2π
∴β-α=

2π

3

或

4π

3

点评：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin²γ+cos²γ=1，从而可得α，β的基本关系