Question

12．在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=$\frac{2}{3}π$，过A作AP⊥BC于P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λμ=（　　）

• A． $\frac{10}{49}$
• B． $\frac{12}{49}$
• C． $\frac{6}{25}$
• D． $\frac{4}{25}$

Answer 1

分析 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$2×1×cos\frac{2π}{3}$=-1．
∵AP⊥BC，∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=（λ-μ）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ{\overrightarrow{AC}}^{2}$=-（λ-μ）-4λ+μ=-5λ+2μ=0，
与λ+μ=1联立解得：$λ=\frac{2}{7}$，μ=$\frac{5}{7}$．
则λμ=$\frac{10}{49}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．