Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直与直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为-1，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为-1．
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，再讨论a的范围，根据导数求出函数的最值

解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1．
函数y=f（x）的导数为f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，
则f′（1）=-

2

1

+

a

1

，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x²，x∈（0，+∞）．
①当a=0时，在区间（0，e]上f′（x）=-2/x²，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为F（e）=

2

e

．
②当

2

a

＜0，即a＜0时，在区间（0，e]上f′（x）＜0，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=

2

e

+a．
③当0＜

2

a

＜e，即a＞

2

e

时，
在区间(0，  

2

a

)上f′（x）＜0，此时f（x）在区间(0，  

2

a

)上单调递减；
在区间(

2

a

，  e]上f′（x）＞0，此时f（x）在区间(

2

a

，  e]上单调递增；
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（

2

a

）=a+aln2．
④当

2

a

≥e，即0＜a≤

2

e

时，
在区间（0，e]上f′（x）≤0，此时f（x）在区间（0，e]上为单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=

2

e

+a．
综上所述，当a≤

2

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为

2

e

+a；
当a＞

2

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为a+aln

2

a

．

点评：该题考查求函数的导数，以及直线垂直的位置关系，要注意讨论a的取值范围，属于中等题，不算很难